Definición
La hipérbola es una curva abierta y plana, con dos ramas, que se definen como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias r’–r, a dos puntos fijos F y F’, denominados focos, es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje real A–B de la hipérbola. Al eje CD, se le denomina eje imaginario, siendo su longitud 2b. Ambos ejes se cruzan perpendicularmente en el centro O, punto medio de los dos ejes. Por lo tanto, la hipérbola es simétrica, respecto a los dos ejes.
Si, como vemos, la distancia focal F–F’ es igual a 2c, se cumplirá que c² = a² + b².
Las rectas que unen un punto cualquiera de la hipérbola P, con los focos, se denominan radios vectores r y r’, y por definición se cumple que r – r’= 2a.
Según las dimensiones de los semiejes, se obtendrán tres tipos de parábolas:
- Si a > b, se obtendrá una curva de ramas cerradas.
- Si a = b, se obtendrá una hipérbola equilátera.
- Si a < b, se obtendrá una curva de ramas abiertas.
Propiedades y elementos
Se denomina circunferencia principal Cp, a la circunferencia de centro O, y diámetro 2a. La circunferencia principal, se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares(Q), trazadas desde los focos a las tangentes (t) de la hipérbola. También se puede definir como el punto medio de los segmentos que unen un foco, con la circunferencia focal del otro foco, y las mediatrices de dichos segmentos, son tangentes a la hipérbola.
Se denomina circunferencia focal Cf, a la circunferencia de centro en uno de los focos de la hipérbola, y radio 2a. En una hipérbola se podrán trazar dos circunferencias focales. La circunferencia focal, se define como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco (F1), respecto a las tangentes (t) de la hipérbola.
Observando la figura, también podemos definir la hipérbola, como el lugar geométrico de los centros de circunferencia que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco.
Trazado de la hipérbola mediante radios vectores
Teniendo en cuenta la definición de la hipérbola, solo necesitaremos coger pares de radios vectores, cuya diferencia sea 2a, para ello determinaremos una serie de puntos sobre el eje real, 1, 2, 3 etc., y cogeremos como parejas de radios vectores, los segmentos A1–B1, A2–B2, A3–B3, y así sucesivamente, determinando los suficientes puntos de la parábola, como para ser definida.
Con cada pareja de radios vectores, se determinarán cuatro puntos de la hipérbola, uno en cada cuadrante de la misma.
Cuanto mayor sea el número de puntos, mayor será la precisión del trazado de la hipérbola, que deberá realizarse, o bien a mano alzada o mediante reglas flexibles, o plantillas de curvas especiales.
Trazado de la hipérbola por haces proyectivos
Comenzaremos obteniendo un punto P de la curva por radios vectores, y trazaremos el rectángulo ARPS, y dividiremos los lados RP y PS en un mismo número de partes iguales. Sobre la prolongación de PR y PS llevaremos esas misma divisiones.
Seguidamente trazaremos rectas que unan el vértice A, con las divisiones de PR, y el vértice Br con las divisiones de PS, obteniendo en sus intersecciones, puntos, pertenecientes a la hipérbola buscada. Esto se repetirá para la otra rama de la hipérbola.
Trazado de la parábola por envolventes
Esta construcción se basa en el hecho de que la circunferencia principal, es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde el foco a las tangentes a la hipérbola.
Para este trazado partiremos de puntos, de la circunferencia principal. Uniremos dichos puntos con el foco F’, y trazaremos por ellos, perpendiculares a las rectas trazadas, obteniendo las rectas tangentes a la parábola. La curva se determinará mediante tangentes a dichas rectas.
Las asíntotas serán las tangentes a la hipérbola en el infinito, y que determinaremos trazando el arco de centro en O y radio O–F. En la intersección de dicho arco con la perpendicular al eje real, trazada por el vértice A, determinaremos el punto 1, perteneciente a la asíntota, solo restará unir dicho punto con el centro O de la hipérbola.
Recta tangente y normal en un punto de la hipérbola
La tangente a la hipérbola en un punto de ella P, es la bisectriz del ángulo que forman los radios vectores en dicho punto.
La normal en P, es la perpendicular a la tangente en dicho punto.
Recta tangente a la hipérbola en un punto, por circunferencia principal
Siendo P el punto de la hipérbola, comenzaremos trazando las circunferencias de centro C1 y C2, puntos medios de los radios vectores del punto P, y diámetro dichos radios vectores.
Las circunferencias anteriores resultan ser tangentes interiores a la circunferencia principal, en los puntos T1 y T2, determinados al unir el centro O de la elipse con los centros C1 y C2.
Se cumple que los puntos T1, T2 y P, están alineados, y determinan la recta t tangente a la hipérbola buscada.
También se verifica que las rectas F–P y O–T2, y F’–P y O–T1 son respectivamente paralelas.
Rectas tangentes a la hipérbola desde un punto exterior, por circunferencia focal
Esta construcción se basa en la definición de circunferencia focal, como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco, respecto a las tangentes a la hipérbola.
Dado el punto P exterior a la hipérbola, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F’, y a continuación la circunferencia de centro en P, y radio P–F, la cual corta a la focal anterior, en los puntos F1 y F2. Dichos puntos son los simétricos del F respecto a las tangentes a la hipérbola desde el punto P.
Solo resta trazar las mediatrices de los segmentos F–F1 y F–F2, obteniendo así las rectas t1 y t2 que serán las tangentes a la hipérbola buscadas.
Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas F’–F1 y F’–F2, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia buscados.
Rectas tangentes a la hipérbola desde un punto exterior, por circunferencia principal
Dado el punto P exterior a la hipérbola, comenzaremos trazando la circunferencia principal, y a continuación la circunferencia de centro en C1, y diámetro P–F. Ambas circunferencias se interceptan en los puntos 1 y 2.
Las rectas P–1 y P–2, serán las tangentes t1 y t2 buscadas. Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas O1 y O2, y por F’ las correspondientes paralelas, que determinarán sobre las tangentes, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia buscados.
Rectas tangentes a la hipérbola, paralelas a una dirección dada, por circunferencia focal
Esta construcción es similar a la del trazado de tangentes desde un punto exterior, solo que en este caso el punto es un punto impropio situado en el infinito.
Dada la dirección d, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F’, y a continuación la recta perpendicular a la dirección d, y que pase por el foco F. Dicha recta determina sobre la circunferencia focal, los puntos F1 y F2.
Las mediatrices de los segmentos F–F1 y F–F2, serán las tangentes a la elipse t1 y t2 buscadas.
Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas F’–F1 y F’–F2, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia buscados.
Rectas tangentes a la hipérbola, paralelas a una dirección dada, por circunferencia principal
Dada la dirección d, comenzaremos trazando la circunferencia principal, y seguidamente la recta perpendicular a la dirección d, y que pase por el foco F. Dicha recta intercepta a la circunferencia principal en los puntos 1 y 2, pertenecientes a las tangentes buscadas.
Solo restará trazar por 1 y 2 las rectas t1 y t2, paralelas a la dirección dada, siendo estas las tangentes buscadas.
Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas O1 y O2, y por el foco F’, las correspondientes paralelas. Dichas paralelas determinarán sobre las tangentes los puntos T1 y T2 de tangencia buscados.
Puntos de intersección de una recta con una hipérbola
Esta construcción se basa en la definición de la hipérbola, como el lugar geométrico de los centros de circunferencias que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco.
Comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F y radio 2a. seguidamente trazaremos una circunferencia cualquiera con centro en la recta r, y que pase por el foco F’. En nuestro caso hemos trazado la circunferencia de centro C1. sobre dicha circunferencia determinaremos el punto P, simétrico del foco F’, respecto a la recta r.
Los puntos de intersección buscados, serán los centros de las circunferencias situados en la recta r, que pasando por P y F’, sean tangentes a la circunferencia focal. Por lo tanto el problema se reduce al trazado de circunferencias que pasando por dos puntos sean tangentes a otra dada, Lo que resolveremos por potencia.
En la intersección de las rectas 1–2 y P–F’, obtendremos el punto Cr, centro radical de todas las circunferencias de centro en r y que pasen por P y F’.
Tranzando la circunferencia de diámetro F–Cr y centro en pm, determinaremos en la circunferencia focal, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia de las circunferencias buscadas. Determinaremos el centro de dichas circunferencias, uniendo los puntos T1 y T2 con el foco F, rectas que determinarán sobre la recta r dada, los puntos I1 y I2, centro de las circunferencias solución, y por tanto, puntos de intersección de la recta r con la hipérbola.
Construcción de la hipérbola por arcos de circunferencia. Radios de curvatura
Para determinar el centro de curvatura en un punto P de la hipérbola, trazaremos la normal en dicho punto, bisectriz del ángulo exterior que forman los dos radios vectores de dicho punto.
La normal trazada, cortará a la prolongación del eje real en el punto 1. Por dicho punto trazaremos la perpendicular a la normal, que determinará sobre la recta O–P, el punto 2. Por dicho punto trazaremos la paralela al eje imaginario de la hipérbola, que interceptará a la normal en el punto Cp, centro de curvatura buscado.
Para determinar los centros de curvatura en los extremos del eje real de la hipérbola, trazaremos la perpendicular a la asíntota en el punto R. Dicha perpendicular interceptará a la prolongación del eje real en el punto CB, centro de curvatura buscado.
